魔方陣
問題33 ☆☆
次の魔方陣を完成しなさい(たて、横、対角 線どの方向の３数の和も等しくなっています)。
9
3
1
真中の数は、9と1の平均だから、(9＋1)÷２＝5となる。
右下の数は、9と3の平均になっているので、(9＋3)÷2＝6である。
9＋5＋1＝15が３数の和だから、残りを順にうめていくと次の答えになる。
答え
4
9
2 3 5 7 8 1 6
真中の数と右下の数は、なぜ平均になるのでしょうか？
どちらも３つずつの和３組分なので合計は等しい。真中の数(緑)が３回重なったことが わかります。そこで上の図をよく見比べてみると緑２つの数の合計と赤 と青の数の合計が等しいことに気付きます。つまり、緑＝( 赤＋青)÷２で確かに真中の数は両端の数の平均になっています。
次に、このような場合はどうでしょう？ 線で囲んである所を合計するのです。
上の図を同じように見比べてみると緑２つの数の合計と赤と青の数の合計 が等しいことに気付きます。つまり、緑＝( 赤＋青)÷２で、確かに右下の緑の数は赤と青の数の平均になっています。
問題34 ☆☆☆☆
次の図でAB＋BC＝12cm、ED＋DC＝7cm、直角三角形BCD＝10のとき、五角形ABCDEの面積を求めなさい。
このように、緑と青の三角形をそれぞれ上図のように対称に移動する。さらに赤い線の三角形がBDについて線対称とな るの で、求める面積は、黒い直角三角形の面積から赤い三角形2個分の20
底辺と高さは辺ABと辺CDを対称に移動してまっすぐな７cm、12cmとなるので、７×12÷２−20＝22
答え 22
赤い三角形の合同は、180°の角Dと直角三角形BCDの内角の和180°より、180−(90−青丸)−青丸２個＝90−青丸となり、 その結果辺BDと その両端の角が等しくなります(数学では直接、斜辺と１鋭角相等です)。赤い三角形の直角の頂点は特に辺AC上にあるわけではありません。「くるくる三角 形」の最高峰といえるような問題ですが、ちょうちょの羽がひらひらするようなイメージですので、「ひらひら三角形」とでも名付けましょうか。元ネタは単な る１枚の直角三角形の折り紙なのですが、折鶴からもとの展開図を想像するのは簡単ではありません。
問 題35 ☆☆
A町、B 町、C町のバスの停留所がこの順にあります。料金は、AB間は170円、BC間は200円、 AC間は230円です。AB間で乗っていた人は29人、BC間で乗っていた人は36人でした。バス料金の合計は9190円でした。BC間だけ乗った人は何 人ですか。
B町で降りた人と乗ってきた人を差し引きすると、36−29＝7人増えたということになる。そこで29人全員がB町で降りずにC町まで乗ったとすると、B 町では７人乗ったことになり、そのときの料金は230×29＋200×7＝8070円となる。
これと実際の料金9190円を比べる。もしBで１人降りたとすると料金は170円＋200円−230円＝140円の差がつき、この差が集まって、9190 円−8070円＝1120円となったと考える。
よって、1120円÷140円＝8人がB町で降りたとわかる。 よって、BC間だけ乗った人は、８＋７＝15人である。
答え 15人
中学校の数学で40年も前からよく出題される問題です
が、方程式では
なく、つるかめ算で解こうとするとこのようにややこしい事になります。このように数学からむりやり引っ張り出してきたような文章題に対処するためには、
解
法等数学的方法も知っておくことが必要だともいえます。
ちなみに
立
体の見取り図
問題36 ☆☆☆
右
の図1のような正四面体があり、その一部を切り取ってできた立体の
展開図が、図2のようになりました。ただし、足りない平面は補うとします。
図1の正四面体の一辺は何cmですか。またこの正四面体の見取り図に切り取った切断面を書き、
切り取ってできた立体の見取り図を書きなさい。
解
説
左図のように、図2の展開図を延長すると、正四面体になるので、
展開図のりんかく線を緑の線で見取り図の中に書きこむと、次の図のようになる。
この緑の面ではさまれた立体を、矢印の方向から見ると２枚の長方形を底面とする、図のような立体になる。
考察
答えの見取り図で、横２本が点線、たて２本が実線です。
偶
数と奇数の問題
問
題37 ☆☆☆☆
(□−１)×□×(□＋１)が
100000の倍数となるような、20000以下の偶数を□の中に入れなさい。ただし、□の中には同じ整数が入ります。 (洛星中学)
解
説
(□−１)と(□＋１)は
奇数なので、100000を素因数分解したときのすべての偶数は真ん中の□に
集中する。
100000=32×3125だから真ん中の数□は
32の倍数である。
また３数は連続する整数なので、両端の数が２数とも５の倍数であることはあり得ない。
したがって、両端の数のどちらかが3125の倍数となる。
3125×1＝3125のとき、□＝3126とすると、3126÷32は割り切
れないので不適。3125−1＝3124も同様に不適。
3125×2＝6250のとき、同様に不適。
3125×3＝9375のとき、□＝9376であり、9376÷32＝293となり割り切れる。
考
察
3125×29＝90625より、90625−1＝90624が答えとなります。
算数 定理集追加分-目次
◇追加分 2. 折り紙
3. 三つどもえつるかめ算
4. 偶数と奇数
